从圆周率开始的极限思想

《九章算术》方田章提出了圆面积公式，其中分别是圆面积、周长、半径。在刘徽之前，人们以圆内接正6边形周长代替圆周长，以正12边形面积代替圆面积，用出入相补原理近似验证上述公式。刘徽指出，此“合径率一而弧周率三也”，而圆的周长与直径“非周三径一之率也”。从而创造了用无穷小分割和极限思想证明圆面积公式的方法。他从直径d=2尺的圆开始割圆，利用毕氏定理，求出正边形的边心距，余径，以及边长，算出，，，=，因此，确定圆面积近似值。將其代入圆面积公式：，于是。將其与直径20寸相約，得到，相当于。学术界普遍認认为刘徽在求出后，利用圆面积公式求出，是错误的。刘徽又进而求出，相当于。南朝祖冲之进一步将圆周率值精确到8位有效数字，相当于求出。普遍认为，祖冲之是用刘徽的程式求得此值。祖冲之进一步确定为密率，这是分母小于16604的一切分数中最接近π的真值的分数。这些成就在世界上领先约千年。

祖暅之开立圆术所说的“夫叠棊成立积，缘幂势既同，则积不容异”，是说同底等高的两组立体，若等高处的截面积相等，则其体积必相等，这称为祖暅之原理，西方称为卡瓦列利原理。实际上，《九章算术》中许多方体与圆体都是成对出现，说明是通过比较其底面积由前者推导后者。刘徽认识到，不仅要比较底面积，而且必须比较任意等高处的截面积。他在羡除术注中提出“上连无成不方，故方锥与阳马同实”，就是这个意思。基于这一认识，他发现《九章算术》开立圆术所使用的球体积公式是错误的，并设计了牟合方盖。

刘徽和祖冲之父子之后一千余年，中国的无穷小分割和极限思想没有明显进步，甚至未曾达到刘徽的水准。清中叶后人们研究幂级数展开式，在这方面开始超过刘徽，成绩最著者当推李善兰。在接触西方微积分思想之前，他在《方圆阐幽》（1845年）提出：“当知诸乘方皆可变为面，并皆可变为线。”即若x为任意正数，n为正整数，则的数值可以表示成一个平面积，也可以表示成一条直线段。他进而指出，“当知诸乘方皆有尖锥”，“当知诸尖锥有积李善兰还将尖锥术用于圆面积的计算。在《对数探源》中，李善兰用尖锥术解决了对数函数的幂级数展开式。叠之理”。即当x在区间[o,h]内时，表示的平面积叠成一个尖锥体。李善兰的工作大体相当于牛顿、莱布尼兹之前欧洲数学家关于微积分的工作，尽管完成这些工作的预备知识中有西方初等数学，但确是中国传统数学的一次创造性突破。