π值计算史 - Peak one Temple

π值计算史

π.Science 2020-05-05 39 次浏览 0 条评论 次点赞

圆周率 π 是一个不等于任何两个整数之比的实数,它在整数 3 之后再 带上一个具有无限长度但又永远不循环的小数:π ≈ 3.1415926 · · · 。尽管人类对 π 的认知可以追溯到远古,最先对 π 值进行系统严格的估算者应当首推古希腊科学家 Archimedes(阿基米德,公元前 287—前 212 年),他得出不等式 3 + 10/71 < π < 3 + 1/7,平均值就是 π ≈ 3.14 · · · 。

4e91a90affe64ba8ae93771e6446094b.jpeg
祖冲之(429-500)

在我国,三国后期魏国人刘徽(生于公元 250 年左右)留下了宝贵数学遗产《九章算术注》和《海岛算经》,并创始和使用了“割圆术”即用圆的内接和外切正多边形来逼近圆的周长。割圆术为后来南北朝时期的数学家祖冲之(公元 429—500 年)的估算 3.1415926 < π < 3.1415927 提供了最基本的方法。此外,祖冲之还以很简单的分数形式给出了圆周率的约率 π ≈ 22/7 和密率 π ≈ 355/113。

380e95c23e2e4ea29f2597f375a821e2.jpeg
割圆术

古人计算圆周率,一般都是用正多边形来逼近圆的。Archimedes 用正 96 边形逼近圆而得到 π 小数点后 3 位的精度,刘徽用正 3072 边形逼近圆也只 能得到 π 小数点后 5 位的精度。

由于这些计算方法效率极低,估算 π 的历史进程十分缓慢。直到微积分问世以后,情况才大为改观。1706 年,英国天文学家 John Machin 发现了一个简单的解析公式并用它来计算 π 达到了小数点后 100 位的精确度:

π = 16 arctan(1/5) − 4 arctan(1/239)

微积分的出现,不但给出了许多关于 π 的解析估计,更大大地加快了其数值计算。且不说优雅漂亮的 Gregory-Leibniz 和差公式

1/1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + 1/9 − · · · = π/4

以及 Wallis 乘积公式

2/1 × 2/3 × 4/3 × 4/5 × 6/5 × 6/7 × 8/7 × 8/9 × · · · = π/2

后来发现能够用来对 π 作快速近似计算的公式还有很多。

f094f93f1dfb4fe3960bb822fa5e2c52.png
莱布尼茨方法

6dfbb65eb0034f9fbb4d5882eab3dce3.png
黎曼zeta函数方法


本文由 PeakOneTemple 整理发布,参考 CC-BY-SA 3.0 协议共享,欢迎转载、引用或改编。
感谢您的支持,继续我们山巅.一寺.一壶酒(Peak one Temple)的独特视角!

还不快抢沙发

添加新评论