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从圆周率开始的极限思想


《九章算术》方田章提出了圆面积公式0.png,其中0.png分别是圆面积、周长、半径。在刘徽之前,人们以圆内接正6边形周长代替圆周长,以正12边形面积代替圆面积,用出入相补原理近似验证上述公式。刘徽指出,此“合径率一而弧周率三也”,而圆的周长与直径“非周三径一之率也”。从而创造了用无穷小分割和极限思想证明圆面积公式的方法。他从直径d=2尺的圆开始割圆,利用毕氏定理,求出正0.png边形的边心距0.png,余径0.png,以及边长0.png,算出0.png0.png0.png0.png=0.png,因此,确定圆面积近似值。將其代入圆面积公式:0.png,于是0.png。將其与直径20寸相約,得到0.png,相当于0.png。学术界普遍認认为刘徽在求出0.png后,利用圆面积公式0.png求出0.png,是错误的。刘徽又进而求出0.png,相当于0.png。南朝祖冲之进一步将圆周率值精确到8位有效数字,相当于求出0.png。普遍认为,祖冲之是用刘徽的程式求得此值。祖冲之进一步确定0.png为密率,这是分母小于16604的一切分数中最接近π的真值的分数。这些成就在世界上领先约千年。


无处不在的神奇数字


你可能早已听说过,π 与地球上的许多河流有关:河流弯曲河道的曲线长度与河道首尾直线距离之比通常都接近于 3.14 —— 河道越是蜿蜒曲折,这个近似值就越好——亚马逊河便是一个例子。

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https://envirobites.org/2019/03/14/pi-me-a-river-a-meandering-tale-of-pi-rivers-and-water-quality/

最令我惊叹的是 2010 年 11 月 《科学》杂志上报道的德国格丁根大学马克 · 普朗克动力学与自组织科学研究所和伯恩斯坦计算神经科学研究中心的科学家 Matthias Kaschube 及其团队的一项研究成果。